اختر عبارتين متكافئتين تمثلان مساحة الشكل أدناه

اختر عبارتين متكافئتين تمثلان مساحة الشكل أدناه.
الإجابة الصحيحة هي : الخيار الثاني والخامس.

اختر عبارتين متكافئتين تمثلان مساحة الشكل أدناه

تعتبر المساحة أحد المفاهيم الأساسية في الهندسة، وهي تمثل مقدار السطح الذي يشغله شكل معين. ولحساب مساحة الأشكال المختلفة، هناك العديد من الصيغ الرياضية التي يجب استخدامها. وفيما يلي مقال يقدم شرحًا وافيًا لكيفية إيجاد مساحة أحد الأشكال الهندسية، بالإضافة إلى إثبات تكافؤ صيغتين مختلفتين لحساب مساحته.

إيجاد مساحة الشكل

الشكل المعطى هو مضلع محدب يتكون من أربعة أضلاع. لإيجاد مساحته، يمكن استخدام إحدى الصيغتين التاليتين:

1- صيغة المساحة باستخدام الأضلاع والزوايا

إذا كانت أضلاع المضلع محدبًا هي (a, b, c, d)، والزوايا الداخلية المقابلة لها هي (α, β, γ, δ)، فإن مساحة المضلع تعطى بالصيغة التالية:

“`

Area = (1/4) √[(a + b + c + d)^2 – (a + c – b – d)^2 – (a + d – b – c)^2 – (b + c – a – d)^2]

“`

2- صيغة المساحة باستخدام إحداثيات الرؤوس

إذا كانت إحداثيات رؤوس المضلع محدبًا هي ((x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4))، فإن مساحته تعطى بالصيغة التالية:

“`

Area = (1/2) |(x1 (y2 – y4) + x2 (y3 – y1) + x3 (y4 – y2) + x4 (y1 – y3))|

“`

إثبات تكافؤ الصيغتين

لإثبات أن الصيغتين متكافئتان، يمكن استخدام التحويلات المثلثية وإحداثيات المتجه. فإذا اعتبرنا أن المضلع محدبًا مكونًا من أربع نقاط، فإننا يمكن تقسيمه إلى مثلثين باستخدام أحد القطرين. وبالتالي، فإن مساحة المضلع هي مجموع مساحتي المثلثين.

1- إثبات باستخدام التحويلات المثلثية

يمكن إثبات تكافؤ الصيغتين باستخدام التحويلات المثلثية التالية:

“`

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
cos(α + β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)

“`

باستخدام هذه التحويلات، يمكن إثبات أن:

“`

(a + b + c + d)^2 – (a + c – b – d)^2 – (a + d – b – c)^2 – (b + c – a – d)^2 = 16 Area^2

“`

وبالتالي، فإن الصيغتين متكافئتان.

2- إثبات باستخدام إحداثيات المتجه

يمكن إثبات تكافؤ الصيغتين أيضًا باستخدام إحداثيات المتجه. فإذا اعتبرنا أن رؤوس المضلع محدبًا هي ((x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4))، فإن المتجهين u = (x2 – x1, y2 – y1) و v = (x3 – x1, y3 – y1) يمثلان ضلعين من المضلع. وبالتالي، فإن مساحة المضلع هي:

“`

Area = (1/2) |u × v|

“`

ويكون حاصل الضرب المتجه u × v هو:

“`

u × v = (x2 – x1, y2 – y1, 0) × (x3 – x1, y3 – y1, 0) = |(x1 (y2 – y4) + x2 (y3 – y1) + x3 (y4 – y2) + x4 (y1 – y3))|

“`

وبالتالي، فإن الصيغتين متكافئتان.

في هذا المقال، قدمنا شرحًا لكيفية إيجاد مساحة مضلع محدب باستخدام صيغتين مختلفتين. وأثبتنا أيضًا تكافؤ الصيغتين باستخدام التحويلات المثلثية وإحداثيات المتجه. وتجدر الإشارة إلى أن اختيار الصيغة المناسبة لحساب المساحة يعتمد على المعلومات المتوفرة عن المضلع.